Terdapat beberapa variasi mesin Turing. Meskipun terdapat lebih dari satu variasi, namun tidak ada peningkatan kemampuan pengenalan bahasa dari masing-masing varian.
Dengan kata lain, variasi-variasi mesin Turing tersebut merupakan mesin yang ekivalen.
Beberapa variasi mesin Turing:
Two- way Infinite tape
Mesin Turing ini memiliki pita simbol yang tidak terbatas pada kedua ujungnya. Pada mesin Turing biasa, head tidak dapat bergerak lebih kiri dari sisi pita.
Multitrack Mesin Turing ini memiliki sebuah pita yang memiliki lebih dari satu jalur (track) penulisan atau pembacaan simbol. Simbol-simbol yang berada pada “kolom” yang sama akan dibaca sekaligus oleh sebuah head tunggal.
Multitape
Mesin Turing ini memiliki beberapa pita yang masing-masing dapat dibaca oleh head yang saling bebas. Setiap pita memiliki head tersendiri. Aksi yang dilakukan salah satu head pada pitanya tidak bergantung dari aksi head yang lain.
Non-deterministic
Mesin Turing ini memiliki satu pita yang terbatas pada salah satu ujungnya. Untuk setiap kombinasi status dan simbol pita yang sedang dibaca, mesin ini dapat memiliki sejumlah gerakan berikutnya.
Multi-dimensional tape
Mesin Turing ini memiliki pita yang multi dimensi. Mesin Turing biasa memiliki pita yang berdimensi satu. Untuk pita dua dimensi berarti head dapat berpindah dari satu sel ke sel lain yang terletak pada suatu bidang datar.
Multihead
Mesin Turing ini mirip dengan mesin Turing multitape, hanya bedanya mesin Turing multihead hanya satu pita. Setiap head pada pita tersebut dapat beraksi saling bebas satu sama lainnya.
Bentuk representasi diagram transisi lain
dari Mesin Turing yaitu persilangan
antara mesin Mealy dan Moore.
Move-In-State TM
Kombinasi Mesin Turing
Kombinasi Mesin Turing akan menghasilkan
bentuk yang lebih kompleks.
Kedua mesin mendapat masukan dan pita
yang sama (∑ dan Γ sama).
Ketika salah satu mengakhiri eksekusinya,
maka mesin yang ke dua akan memulai
bekerja.
Mesin ke dua akan memulai pekerjaannya
dari posisi yang ditinggalkan oleh mesin
pertama.
Contoh ;
M1 = (Q1
, Ʃ, Γ, δ1
, S1
, B, F1
)
M2 = (Q2
, Ʃ, Γ, δ2
, S2
, B, F2
)
akan dibentuk M3 yang merupakan
kombinasi dari M1 dan M2 atau
M3 = M1M2 dengan konfigurasi
M3 = (Q3
, Ʃ, Γ, δ3
, S3
, B, F3
)
dimana:
Q3 = Q1 U Q2 (diketahui Q1 ∩ Q2 = Ф)
S3 = S1 dan F3 = F2
Fungsi transisi dari M3 dibentuk sbb.:
Semua transisi δ2
Transisi-transisi δ1 yang tidak menuju F1
Transisi-transisi δ1 yang menuju F1 diganti
menuju S2
Context Free Grammar (CFG)/ Bahasa Bebas Konteksadalah sebuah tata bahasa dimana tidak terdapat pembatasan pada hasil produksinya, Contoh Pada aturan produksi :
α → β
batasannya hanyalah ruas kiri (α) adalah sebuah simbol variabel. Sedangkan contoh aturan produksi yang termasuk CFG adalah seperti di bawah :
B → CDeFg
D → BcDe
Context Free Grammar ( CFG ) adalah tata bahasa yang mempunyai tujuan sama seperti halnya tata bahasa regular yaitu merupakan suatu cara untuk menunjukkan bagaimana menghasilkan suatu untai-untai dalam sebuah bahasa.
Latar Belakang Context Free Grammar ( CFG )
Terinspirasi dari bahasa natural manusia, ilmuwan-ilmuwan ilmu komputer yang mengembangkan bahasa pemrograman turut serta memberikan grammar (pemrograman) secara formal. Grammar ini diciptakan secara bebas-konteks dan disebut Context
Free Grammar (CFG). Hasilnya, dengan pendekatan formal ini, kompiler suatu bahasa pemrograman dapat dibuat lebih mudah dan menghindari ambiguitas ketika parsing bahasa tersebut. Contoh desain CFG untuk parser, misal : B -> BB | (B) | e untuk mengenali bahasa
dengan hanya tanda kurung {‘(’,’)’} sebagai terminal-nya. Proses parsing adalah proses pembacaan string dalam bahasa sesuai CFG tertentu, proses ini harus mematuhi aturan produksi dalam CFG tersebut
Parsing
Context Free Grammar ( CFG ) menjadi dasar dalam pembentukan suatu parser/proses analisis sintaksis. Bagian sintaks dalam suatu kompilator kebanyakan di definisikan dalam tata bahasa bebas konteks. Pohon penurunan ( derivation tree/parse tree) berguna untuk menggambarkan simbol-simbol variabel menjadi simbol-simbol terminal setiap simbol variabel akan di turunkan menjadi terminal sampai tidak ada yang belum tergantikan.
Contoh, terdapat CFG dengan aturan produksi sebagai berikut dengan simbol awal S :
S → AB
A → aA | a
B → bB | b
Maka jika ingin dicari gambar pohon penurunan dengan string : ‘aabbb’ hasilnya adalah seperti di bawah :
Context Free Grammar (CFG) - Parse Tree
Proses penurunan / parsing bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut :
Penurunan terkiri (leftmost derivation): simbol variabel terkiri yang di perluas terlebih dahulu.
Penurunan terkanan ( rightmost derivation ) : simbol variabel terkanan yang diperluas terlebih dahulu.
Misal : Grammar sbb :
S → aAS | a
A → SbA | ba
Untuk memperoleh string ‘aabbaa’ dari grammar diatas dilakukan dengan cara :
Diketahui grammar G = {I → H | I H | IA, H → a| b | c | … |z, A → 0 | 1 | 2| …|9}
dengan I adalah simbol awal.Berikut ini kedua cara analisa sintaks untuk string x23b.
Derivasi dan Parsing
Ambiguitas
Ambiguitas terjadi bila terdapat lebih dari satu pohon penurunan yang berbeda untuk memperoleh suatu string.
Misalkan terdapat tata bahasa sebagai berikut :
S → A | B
A → a
B → a
Untuk memperoleh untai ‘a’ bisa terdapat dua cara penurunan sebagai berikut :
S => A => a
S => B => a
Contoh ambiguitas lain:
Diketahui grammar G = {S → SOS|A , O → *|+, A → 0|1|2|…|9}
String : 2*3+7 mempunyai dua pohon sintaks berikut :
Sebuah string yang mempunyai lebih dari satu pohon sintaks disebut stringambigu (ambiguous). Grammar yang menghasilkan paling sedikit sebuah string ambigu disebut grammar ambigu.
Finite State Automata (FSA) adalah mesin abstrak berupa sistem model matematika dengan masukan dan keluaran diskrit yang dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler) dan dapat diimplementasikan secara nyata.
Bahasa yang paling sederhana adalah bahasa reguler (tipe 3). Mesin yang bisa mengenalinya adalah Finite Automata. Finite Automata adalah mesin komputasi. Pada bahasan ini mesin komputasi yang dimaksud adalah mesin abstrak bukan mesin fisik, namun memadai untuk diimplementasikan secara nyata.
Pengertian FSA
Finite Automata adalah model matematika sistem dengan masukan dan keluaran diskrit. Finite State Automata adalah model matematika yang dapat menerima inputan dan mengeluarkan output. Memiliki state berhingga banyaknya dan dapat berpindah dari satu ke yang lainnya sesuai dengan inputan dan fungsi transisi.
Contoh 1:
Seorang petani dengan seekor serigala, kambing dan seikat rumput
berada pada suatu sisi sungai.
Tersedia hanya sebuah perahu kecil yang hanya dapat dimuati
dengan petani tersebut dengan salah satu serigala, kambing atau
rumput.
Petani tersebut harus menyeberangkan ketiga bawaannya kesisi
lain sungai.
Tetapi jika petani meninggalkan serigala dan kambing pada suatu
saat, maka kambing akan dimakan serigala.
Begitu pula jika kambing ditinggalkan dengan rumput, maka rumput
akan dimakan oleh kambing.
Mungkinkah ditemukan suatu cara untuk melintasi sungai tanpa
menyebabkan kambing atau rumput dimakan.
Contoh Sistem dengan state berhingga :
Sistem elevator
Mesin penjual minuman kaleng (vending machine)
Pengatur lampu lalu lintas
Sirkit switching di komputer dan telekomunikasi
Lexical Analyzer
Neuron Nets
Secara formal finite state automata dinyatakan oleh 5 tupel atau M=(Q, Σ, δ, S, F), di
mana :
Q = himpunan state / kedudukan
Σ = himpunan simbol input / masukan / abjad
δ = fungsi transisi
S = state awal / kedudukan awal (initial state)
F = himpunan state akhir
Finite State Automata yang memiliki tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol
masukan yang diterima disebut Deterministic Finite Automata.
Karakteristik Finite Automata
1. Setiap Finite Automata memiliki keadaan dan transisi yang terbatas.
2. Transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau non- deterministik.
3. Setiap Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.
4. Finite Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir.
jika setelah pemrosesan seluruh string, keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut.
Setiap FSA memiliki:
1. Himpunan berhingga (finite) status (state)
• Satu buah status sebagai status awal (initial state), biasa dinyatakan q0.
• Beberapa buah status sebagai status akhir (final state).
2. Himpunan berhingga simbol masukan
3. Fungsi transisi
Menentukan status berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.
Cara Kerja Finite State Automata
Finite State Automata bekerja dengan cara mesin membaca memori masukan berupa tape yaitu 1 karakter tiap saat (dari kiri ke kanan) menggunakan head baca yang dikendalikan oleh kotak kendali state berhingga dimana pada mesin terdapat sejumlah state berhingga.
Finite Automata selalu dalam kondisi yang disebut state awal (initial state) pada saat Finite Automata mulai membaca tape. Perubahan state terjadi pada mesin ketika sebuah karakter berikutnya dibaca. Ketika head telah sampai pada akhir tape dan kondisi yang ditemui adalah state akhir, maka string yang terdapat pada tape dikatakan diterima Finite Automata (String-string merupakan milik bahasa bila diterima Finite Automata bahasa tersebut).
Finite State Diagram (FSD)
Finite State Automata dapat dimodelkan dengan Finite State Diagram (FSD) dapat juga disebut State Transition Diagram. Sistem transisi adalah sistem yang tingkah lakunya disajikan dalam bentuk keadaan-keadaan (states). Sistem tersebut dapat bergerak dari state yang satu ke state lainnya sesuai dengan input yang diberikan padanya.
Fungsi Transisi (d) adalah representasi matematis atas transisi keadaan.
S = himpunan alfabet.
Q = himpunan keadaan-keadaan.
d = Q x S à Q
Finite State Diagram terdiri dari:
1. Lingkaran menyatakan state
Lingkaran diberi label sesuai dengan nama state tersebut. Adapun pembagian lingkaran adalah:
•Lingkaran bergaris tunggal berarti state sementara
•Lingkaran bergaris ganda berarti state akhir
2. Anak Panah menyatakan transisi yang terjadi.
Label di anak panah menyatakan simbol yang membuat transisi dari 1 state ke state lain. 1 anak panah diberi
label start untuk menyatakan awal mula transisi dilakukan.
Contoh FSA : pencek parity ganjil
Misal input : 1101 Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 1 Ganjil : diterima mesin Misal input : 1100 Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 0 Genap : ditolak mesin
Dari contoh diatas, maka: Q = {Genap, Ganjil} Σ = {0,1} S = Genap F = {Ganjil }
Sebuah FSA dibentuk dari lingkaran yang menyatakan state:
• Label pada lingkaran adalah nama state
• Busur menyatakan transisi/ perpindahan
• Label pada busur yaitu symbol input
• Lingkaran yang didahului sebuah busur tanpa label menyatakan state awal
• Lingkaranb ganda menyatakan state akhir/ final.
Jadi sebuah mesin otomata dapat dinyatakan dalam diagram transisi, fungsi transisi dan tabel transisi.
Jenis FSA
Ada dua jenis FSA :
1. Deterministic Finite Automata (DFA) : dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima. Deterministik artinya tertentu/sudah tertentu fungsi transisinya.
Notasi matematis DFA:
• M = nama DFA
• Q = himpunan keadaan DFA
• S = himpunan alfabet
• d = fungsi transisi
• q0 = keadaan awal
• F = keadaan akhir
• M = (Q, S, d, q0, F)
Contoh : Pengujian untuk menerima bit string dengan banyaknya 0 genap, serta banyaknya 1 genap.
2. Non-deterministic Finite Automata (NFA) : dari suatu state ada 0, 1 atau lebih state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima.
Non-Deterministic Finite Automata:
• Otomata berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa memiliki 0 (nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.
• Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.
• Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi)
berlabel simbol input yang sama.
• Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai
terdapat satu yang mencapai state akhir.
• Suatu string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, _, d, S, F) bila {x | d (S,x) memuat sebuah state di dalam F}
Kedua finite automata di atas mampu mengenali himpunan reguler secara presisi. Dengan demikian kedua finite automata itu dapat mengenali string-string yang ditunjukkan dengan ekspresi reguler secara tepat.
DFA dapat menuntun recognizer(pengenal) lebih cepat dibanding NDFA. Namun demikian, DFA berukuran lebih besar dibanding NDFA yang ekivalen dengannya. Lebih mudah membangun NDFA dibanding DFA untuk suatu bahasa, namun lebih mudah mengimplementasikan DFA dibanding NDFA.
Perhatikan contoh di bawah ini.
Perhatikan gambar di atas, bila state q 0 mendapat input ’a’ bisa berpindah ke stateq 0 atau q1 , yang secara formal dinyatakan :δ (q 0 , a) = {q 0 , q1 }Maka otomata ini disebut non-deterministik (tidak pasti arahnya). Bisa kita lihat tabel transisinya seperti di bawah ini.
δ
a
B
q 0
{q 0 ,q1 }
{q 1 }
q 1
{q 1 }
{q 1 }
Contoh lainnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah ini :
Kita bisa melihat tabel transisinya di bawah ini :
δ
a
B
q 0
{q 1 }
{q 0 }
q 1
{q 0 }
Ø
Seperti halnya pada Deterministic Finite Automata, pada Non Deterministic Finite Automata kita juga bisa membuat diagram transisinya dari tabel transisinya.
Ekuivalensi NFA-DFA
Algoritma :
1. Buat semua state yang merupakan subset dari state semula
2. Telusuri transisi state–state yang baru terbentuk, dari diagram transisi.
3. Tentukan state awal : {q0}
4. Tentukan state akhir adalah state yang elemennya mengandung state akhir.
5. Reduksi state yang tak tercapai oleh state awal.
6. Rename nama-nama state yang tersisa. Contoh : Ubahlah NFA berikut menjadi DFA M= {{q0,q1}, {0,1}, δ, q0,{q1}}
Q = {q0 , q1} δ = {0,1} S = q0 F = { q1 } Jawabannya :Tabel Transisi
1. State yang akan dibentuk : {}, {q0} {q1},{q0,q1}
2. Telusuri state
3. State awal : {q0}
4. State akhir yang mengandung q1, yaitu {q1},{q0,q1}
Diagram Transisinya :
Reduksi Jumlah State Pada FSA
Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state. Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula
Pasangan State dapat dikelompokkan berdasarkan:
1. Distinguishable State (dapat dibedakan) Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila: δ(q,w) Î F dan δ(p,w) ÎF atau δ(q,w) ∉ F dan δ(p,w) ∉ F untuk semua w Î S*2. Indistinguishable State ( tidak dapat dibedakan) Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada string w Î S* hingga: δ(q,w) Î F dan δ(p,w) ∉ F
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Relasi
Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan : distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya.
Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :Jika p dan q indistinguishable,dan q dan r indistinguishablemaka p, r indistinguishable dan p,q,r indistinguishable
Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi : Untuk Q yg merupakan himpunan semua state
D adalah himpunan state-state distinguishable, dimana D Ì Q
N adalah himpunan state-state indistinguishable, dimana N Ì Q
maka x Î N jika x Î Q dan x ∉ D
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step
Langkah – langkah untuk melakukan reduksi ini adalah :
Hapuslah semua state yg tidak dapat dicapai dari state awal (useless state)
Buatlah semua pasangan state (p, q) yang distinguishable, dimana p Î F dan q ∉F. Catat semua pasangan-pasangan state tersebut.
Cari state lain yang distinguishable dengan aturan: Untuk semua (p, q) dan semua a Î ∑, hitunglah δ (p, a) = pa dan δ (q, a) = qa . Jika pasangan (pa, qa) adalah pasangan state yang distinguishable maka pasangan (p, q) juga termasuk pasangan yang distinguishable.
Semua pasangan state yang tidak termasuk sebagai state yang distinguishable merupakan state-stateindistinguishable.
Beberapa state yang indistinguishable dapat digabungkan menjadi satu state.
Sesuaikan transisi dari state-state gabungan tersebut.
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Contoh
Sebuah Mesin DFA
1. State q5 tidak dapat dicapai dari state awal dengan jalan apapun (useless state). Hapus state q5 2. Catat state-state distinguishable, yaitu :
q4 Î F sedang q0, q1, q2, q3 ∉F sehingga pasangan
(q0, q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.
3. Pasangan-pasangan state lain yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan dari langkah 2, yaitu :
Untuk pasangan (q0, q1)
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q1, 0) = q2 à belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q1, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable maka (q0, q1) adalah distinguishable.
Untuk pasangan (q0, q2)
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q2, 0) = q1 à belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q2, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable maka (q0, q2) adalah distinguishable.
4. Setelah diperiksa semua pasangan state maka terdapat state-state yang distinguishable : (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3), (q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4). Karena berdasarkan relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1,q3) dan (q2, q3) distinguishable, sehingga disimpulkan pasangan-pasangan state tersebut indistinguishable.
5. Karena q1 indistinguishable dengan q2, q2 indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.
6. Berdasarkan hasil diatas maka hasil dari DFA yang direduksi menjadi:
