Finite State Automata (FSA) adalah mesin abstrak berupa sistem model matematika dengan masukan dan keluaran diskrit yang dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler) dan dapat diimplementasikan secara nyata.
Bahasa yang paling sederhana adalah bahasa reguler (tipe 3). Mesin yang bisa mengenalinya adalah Finite Automata. Finite Automata adalah mesin komputasi. Pada bahasan ini mesin komputasi yang dimaksud adalah mesin abstrak bukan mesin fisik, namun memadai untuk diimplementasikan secara nyata.
Pengertian FSA
Finite Automata adalah model matematika sistem dengan masukan dan keluaran diskrit. Finite State Automata adalah model matematika yang dapat menerima inputan dan mengeluarkan output. Memiliki state berhingga banyaknya dan dapat berpindah dari satu ke yang lainnya sesuai dengan inputan dan fungsi transisi.
Contoh 1:
Seorang petani dengan seekor serigala, kambing dan seikat rumput
berada pada suatu sisi sungai.
Tersedia hanya sebuah perahu kecil yang hanya dapat dimuati
dengan petani tersebut dengan salah satu serigala, kambing atau
rumput.
Petani tersebut harus menyeberangkan ketiga bawaannya kesisi
lain sungai.
Tetapi jika petani meninggalkan serigala dan kambing pada suatu
saat, maka kambing akan dimakan serigala.
Begitu pula jika kambing ditinggalkan dengan rumput, maka rumput
akan dimakan oleh kambing.
Mungkinkah ditemukan suatu cara untuk melintasi sungai tanpa
menyebabkan kambing atau rumput dimakan.
Contoh Sistem dengan state berhingga :
Sistem elevator
Mesin penjual minuman kaleng (vending machine)
Pengatur lampu lalu lintas
Sirkit switching di komputer dan telekomunikasi
Lexical Analyzer
Neuron Nets
Secara formal finite state automata dinyatakan oleh 5 tupel atau M=(Q, Σ, δ, S, F), di
mana :
Q = himpunan state / kedudukan
Σ = himpunan simbol input / masukan / abjad
δ = fungsi transisi
S = state awal / kedudukan awal (initial state)
F = himpunan state akhir
Finite State Automata yang memiliki tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol
masukan yang diterima disebut Deterministic Finite Automata.
Karakteristik Finite Automata
1. Setiap Finite Automata memiliki keadaan dan transisi yang terbatas.
2. Transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau non- deterministik.
3. Setiap Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.
4. Finite Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir.
jika setelah pemrosesan seluruh string, keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut.
Setiap FSA memiliki:
1. Himpunan berhingga (finite) status (state)
• Satu buah status sebagai status awal (initial state), biasa dinyatakan q0.
• Beberapa buah status sebagai status akhir (final state).
2. Himpunan berhingga simbol masukan
3. Fungsi transisi
Menentukan status berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.
Cara Kerja Finite State Automata
Finite State Automata bekerja dengan cara mesin membaca memori masukan berupa tape yaitu 1 karakter tiap saat (dari kiri ke kanan) menggunakan head baca yang dikendalikan oleh kotak kendali state berhingga dimana pada mesin terdapat sejumlah state berhingga.
Finite Automata selalu dalam kondisi yang disebut state awal (initial state) pada saat Finite Automata mulai membaca tape. Perubahan state terjadi pada mesin ketika sebuah karakter berikutnya dibaca. Ketika head telah sampai pada akhir tape dan kondisi yang ditemui adalah state akhir, maka string yang terdapat pada tape dikatakan diterima Finite Automata (String-string merupakan milik bahasa bila diterima Finite Automata bahasa tersebut).
Finite State Diagram (FSD)
Finite State Automata dapat dimodelkan dengan Finite State Diagram (FSD) dapat juga disebut State Transition Diagram. Sistem transisi adalah sistem yang tingkah lakunya disajikan dalam bentuk keadaan-keadaan (states). Sistem tersebut dapat bergerak dari state yang satu ke state lainnya sesuai dengan input yang diberikan padanya.
Fungsi Transisi (d) adalah representasi matematis atas transisi keadaan.
S = himpunan alfabet.
Q = himpunan keadaan-keadaan.
d = Q x S à Q
Finite State Diagram terdiri dari:
1. Lingkaran menyatakan state
Lingkaran diberi label sesuai dengan nama state tersebut. Adapun pembagian lingkaran adalah:
•Lingkaran bergaris tunggal berarti state sementara
•Lingkaran bergaris ganda berarti state akhir
2. Anak Panah menyatakan transisi yang terjadi.
Label di anak panah menyatakan simbol yang membuat transisi dari 1 state ke state lain. 1 anak panah diberi
label start untuk menyatakan awal mula transisi dilakukan.
Contoh FSA : pencek parity ganjil
Misal input : 1101 Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 1 Ganjil : diterima mesin Misal input : 1100 Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 0 Genap : ditolak mesin
Dari contoh diatas, maka: Q = {Genap, Ganjil} Σ = {0,1} S = Genap F = {Ganjil }
Sebuah FSA dibentuk dari lingkaran yang menyatakan state:
• Label pada lingkaran adalah nama state
• Busur menyatakan transisi/ perpindahan
• Label pada busur yaitu symbol input
• Lingkaran yang didahului sebuah busur tanpa label menyatakan state awal
• Lingkaranb ganda menyatakan state akhir/ final.
Jadi sebuah mesin otomata dapat dinyatakan dalam diagram transisi, fungsi transisi dan tabel transisi.
Jenis FSA
Ada dua jenis FSA :
1. Deterministic Finite Automata (DFA) : dari suatu state ada tepat satu state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima. Deterministik artinya tertentu/sudah tertentu fungsi transisinya.
Notasi matematis DFA:
• M = nama DFA
• Q = himpunan keadaan DFA
• S = himpunan alfabet
• d = fungsi transisi
• q0 = keadaan awal
• F = keadaan akhir
• M = (Q, S, d, q0, F)
Contoh : Pengujian untuk menerima bit string dengan banyaknya 0 genap, serta banyaknya 1 genap.
2. Non-deterministic Finite Automata (NFA) : dari suatu state ada 0, 1 atau lebih state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima.
Non-Deterministic Finite Automata:
• Otomata berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa memiliki 0 (nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.
• Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.
• Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi)
berlabel simbol input yang sama.
• Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai
terdapat satu yang mencapai state akhir.
• Suatu string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, _, d, S, F) bila {x | d (S,x) memuat sebuah state di dalam F}
Kedua finite automata di atas mampu mengenali himpunan reguler secara presisi. Dengan demikian kedua finite automata itu dapat mengenali string-string yang ditunjukkan dengan ekspresi reguler secara tepat.
DFA dapat menuntun recognizer(pengenal) lebih cepat dibanding NDFA. Namun demikian, DFA berukuran lebih besar dibanding NDFA yang ekivalen dengannya. Lebih mudah membangun NDFA dibanding DFA untuk suatu bahasa, namun lebih mudah mengimplementasikan DFA dibanding NDFA.
Perhatikan contoh di bawah ini.
Perhatikan gambar di atas, bila state q 0 mendapat input ’a’ bisa berpindah ke stateq 0 atau q1 , yang secara formal dinyatakan :δ (q 0 , a) = {q 0 , q1 }Maka otomata ini disebut non-deterministik (tidak pasti arahnya). Bisa kita lihat tabel transisinya seperti di bawah ini.
δ
a
B
q 0
{q 0 ,q1 }
{q 1 }
q 1
{q 1 }
{q 1 }
Contoh lainnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah ini :
Kita bisa melihat tabel transisinya di bawah ini :
δ
a
B
q 0
{q 1 }
{q 0 }
q 1
{q 0 }
Ø
Seperti halnya pada Deterministic Finite Automata, pada Non Deterministic Finite Automata kita juga bisa membuat diagram transisinya dari tabel transisinya.
Ekuivalensi NFA-DFA
Algoritma :
1. Buat semua state yang merupakan subset dari state semula
2. Telusuri transisi state–state yang baru terbentuk, dari diagram transisi.
3. Tentukan state awal : {q0}
4. Tentukan state akhir adalah state yang elemennya mengandung state akhir.
5. Reduksi state yang tak tercapai oleh state awal.
6. Rename nama-nama state yang tersisa. Contoh : Ubahlah NFA berikut menjadi DFA M= {{q0,q1}, {0,1}, δ, q0,{q1}}
Q = {q0 , q1} δ = {0,1} S = q0 F = { q1 } Jawabannya :Tabel Transisi
1. State yang akan dibentuk : {}, {q0} {q1},{q0,q1}
2. Telusuri state
3. State awal : {q0}
4. State akhir yang mengandung q1, yaitu {q1},{q0,q1}
Diagram Transisinya :
Reduksi Jumlah State Pada FSA
Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state. Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula
Pasangan State dapat dikelompokkan berdasarkan:
1. Distinguishable State (dapat dibedakan) Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila: δ(q,w) Î F dan δ(p,w) ÎF atau δ(q,w) ∉ F dan δ(p,w) ∉ F untuk semua w Î S*2. Indistinguishable State ( tidak dapat dibedakan) Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada string w Î S* hingga: δ(q,w) Î F dan δ(p,w) ∉ F
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Relasi
Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan : distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya.
Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :Jika p dan q indistinguishable,dan q dan r indistinguishablemaka p, r indistinguishable dan p,q,r indistinguishable
Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi : Untuk Q yg merupakan himpunan semua state
D adalah himpunan state-state distinguishable, dimana D Ì Q
N adalah himpunan state-state indistinguishable, dimana N Ì Q
maka x Î N jika x Î Q dan x ∉ D
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step
Langkah – langkah untuk melakukan reduksi ini adalah :
Hapuslah semua state yg tidak dapat dicapai dari state awal (useless state)
Buatlah semua pasangan state (p, q) yang distinguishable, dimana p Î F dan q ∉F. Catat semua pasangan-pasangan state tersebut.
Cari state lain yang distinguishable dengan aturan: Untuk semua (p, q) dan semua a Î ∑, hitunglah δ (p, a) = pa dan δ (q, a) = qa . Jika pasangan (pa, qa) adalah pasangan state yang distinguishable maka pasangan (p, q) juga termasuk pasangan yang distinguishable.
Semua pasangan state yang tidak termasuk sebagai state yang distinguishable merupakan state-stateindistinguishable.
Beberapa state yang indistinguishable dapat digabungkan menjadi satu state.
Sesuaikan transisi dari state-state gabungan tersebut.
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Contoh
Sebuah Mesin DFA
1. State q5 tidak dapat dicapai dari state awal dengan jalan apapun (useless state). Hapus state q5 2. Catat state-state distinguishable, yaitu :
q4 Î F sedang q0, q1, q2, q3 ∉F sehingga pasangan
(q0, q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.
3. Pasangan-pasangan state lain yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan dari langkah 2, yaitu :
Untuk pasangan (q0, q1)
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q1, 0) = q2 à belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q1, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable maka (q0, q1) adalah distinguishable.
Untuk pasangan (q0, q2)
δ(q0, 0) = q1 dan δ(q2, 0) = q1 à belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q2, 1) = q4 à (q3, q4) distinguishable maka (q0, q2) adalah distinguishable.
4. Setelah diperiksa semua pasangan state maka terdapat state-state yang distinguishable : (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3), (q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4). Karena berdasarkan relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1,q3) dan (q2, q3) distinguishable, sehingga disimpulkan pasangan-pasangan state tersebut indistinguishable.
5. Karena q1 indistinguishable dengan q2, q2 indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.
6. Berdasarkan hasil diatas maka hasil dari DFA yang direduksi menjadi:
Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor). Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama. Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda. Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya. Bahasa manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.
Automata
Automata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu. Automata berasal dari bahasa Yunani automatos, yang berarti sesuatu yang bekerja secara otomatis (mesin). Istilah automaton sebagai bentuk tunggal dan automata sebagai bentuk jamak. Teori Automata adalah teori tentang mesin abstrak yang :
bekerja sekuensial
menerima input
mengeluarkan output
Pengertian mesin bukan hanya mesin elektronis/mekanis saja melainkan segala sesuatu (termasuk perangkat lunak) yang memenuhi ketiga ciri di atas. Penggunaan automata pada perangkat lunak terutama pada pembuatan kompiler bahasa pemrograman. Secara garis besar ada dua fungsi automata dalam hubungannya dengan bahasa, yaitu :
fungsi automata sebagai pengenal (RECOGNIZER) string-string dari suatu bahasa, dalam hal ini bahasa sebagai masukan dari automata
fungsi automata sebagai pembangkit (GENERATOR) string-string dari suatu bahasa, dalam hal ini bahasa sebagai keluaran dari automata
Untuk mengenali string-string dari suatu bahasa, akan dimodelkan sebuah automaton yang memiliki komponen sebagai berikut :
Pita masukan, yang menyimpan string masukan yang akan dikenali;
Kepala pita (tape head), untuk membaca/menulis ke pita masukan;
Finite State Controller (FSC), yang berisi status-status dan aturan-aturan yang mengatur langkah yang dilakukan oleh automaton berdasarkan status setiap saat dan simbol masukan yang sedang dibaca oleh kepala pita;
Pengingat (memory), untuk tempat penyimpanan dan pemrosesan sementara.
Automaton pengenal, setelah membaca string masukan dan melakukan langkahlangkah pemrosesan yang diperlukan, akan mengeluarkan keputusan apakah string tersebut dikenali atau tidak.
– Konfigurasi adalah suatu mekanisme untuk menggambarkan keadaan suatu mesin pengenal, yang terdiri atas :
Status FSC
Isi pita masukan dan posisi kepala pita
Isi pengingat
Mesin pengenal bersifat deterministik bila dalam setiap konfigurasi, hanya ada satu kemungkinan yang dapat dilakukan mesin, jika tidak mesin pengenal bersifat non deterministik. Bahasa dalam bentuk tulisan terdiri atas simbol-simbol satuan yang jika dikombinasikan akan mempunyai arti yang berbeda-beda.
Simbol-simbol yang bisa dipergunakan dalam sebuah bahasa terbatas jumlahnya, yang membentuk sebuah himpunan dan disebut sebagai abjad (alphabet). Kadangkala digunakan istilah karakter yang maknanya sama dengan simbol. Deretan karakter membentuk string. Bahasa (language) didefinisikan sebagai himpunan semua string yang dapat dibentuk dari suatu abjad. Kaidah/aturan pembentukan kata/kalimat disebut tata bahasa (grammar).
Sebagai keluaran dari automata, Bahasa memungkinkan penyampaian gagasan dan pemikiran, tanpa itu komunikasi akan sulit terjadi. Dalam lingkungan pemprograman komputer, bahasa pemprograman bertindak sebagai sarana komunikasi antara manusia dan permasalahannya dengan komputer yang dipakai untuk membantu memperoleh pemecahan.
Suatu solusi untuk suatu masalah akan menjadi lebih mudah bila bahasa pemprograman lebih dekat dengan permasalahan tersebut. Oleh karena itu, bahasa harus memiliki konstruksi yang merefleksikan masalah dan independen dari komputer yang dipergunakan. Komputer digital, disisi lain, hanya menerima dan memahami bahasa tingkat rendah mereka sendiri, terdiri dari deretan nol dan satu, yang sulit dipahami oleh manusia.
Selain bahasa juga bisa menggunakan otomata sebagai media, otomata adalah ilmu yang mempelajari mengenai mesin abstrak, bisa disebut pula adalah suatu model abstrak dari komputer digital yang dapat menerima input secara sekuensial dan dapat mengeluarkan output. Setiap otomata memiliki beberapa fungsi dasar, dapat membaca input berupa string dari alphabet yang diberikan dari input file.
Otomata merupakan suatu sistem yang terdiri dari sejumlah berhingga status, dimana setiap status tersebut menyatakan informasi mengenai input yang lalu, dan dapat pula dianggap sebagai mesin memori. Input pada mesin otomata dianggap sebagai bahasa yang harus dikenali oleh mesin. Disajikan dengan suatu input string, suatu acceptor apakah akan menerima (mengenali) string tersebut atau menolaknya. Otomata yang lebih umum yaitu yang mampu menghasilkan string output, dikenal dengan Tranducer.
Sebagai contoh penggunaan otomata adalah:
Mesin Turing.
Mesin Karakter
Kompiler
Mesin Jaja (Vending Machine)
Setelah kita mengetahui definisi bahasa dan automata, pertanyaan selanjutnya adalah apakah hubungan antara teori automata dan bahasa formal ? Secara garis besar ada dua fungsi automata dalam hubungannya dengan bahasa, yaitu :
Fungsi automata sebagai pengenal (RECOGNIZER) string-string dari suatu bahasa, dalam hal ini bahasa sebagai masukan dari automata
Fungsi automata sebagai pembangkit (GENERATOR) string-string dari suatu bahasa, dalam hal ini bahasa sebagai keluaran dari automata
Di dalam praktik teori bahasa dan otomata (tbo) terdapat beberapa pembelajaran yang diajarkan kepada mahsiswa seperti finite state automata, deterministic finite automata, nondeterministic finite automata, grammar, regular expression, mesin turing, dan lain-lain. Di dalam tbo juga dijelaskan juga teori tentang finite state machine (fsm) yang di dalamnya juga dijelaskan beberapa fungsi seperti fsm with output dan fsm with no output, dalam fsm with output dijelaskan dua fungsi yaitu meanly machine dan moore machine, dan juga dalam fsm with no output dijelaskan juga beberapa fungsi yaitu finite state automata, deterministic finite automata, non-deterministik finite sutomata, grammar. Yang sering digunakan dalam pembelajaran di teori dan di praktik adalah finite state machine with no output seperti finite state automata, deterministic automata, dan lain-lain, akan tetapi dalam pembelajaran jarang sekali membahas finite state machine with output.
Di dalam finite state machine with output ada beberapa contoh yang dapat digunakan dalam penelitian seperti mesin jaja, mesin atm, dan lain-lain. Misal mengambil salah satu contoh yaitu mesin jaja atau vending machine, di dalam vending machine terdapat beberapa aspek yang harus kita pelajari seperti bagaimana proses dalam menjalankan vending machine?, oleh karena itu kita juga harus mendefinisikan dari awal seperti data inputan, data proses, dan data keluaran. Dalam data inputan juga harus dijelaskan seperti apakah masukkan?, kemudian juga menentukan data keluaran atau objek yang akan digunakan.
